BÀI TẬP XÁC SUẤT – CHƯƠNG 1

download: bai tap XSTK chuong 1

CHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN XÁC SUẤT

I.            Phép thử và biến cố

1.   Kiểm tra theo thứ tự một lô hàng gồm N sản phẩm. Các sản phẩm đều thuộc một trong hai loại tốt hoặc xấu. Kí hiệu {{A}_{k}}~\left( k=1,2,\ldots ,N \right) là biến cố biến cố chỉ sản phẩm kiểm tra thứ k thuộc loại xấu. Hãy biểu diễn các biến cố sau đây:

  1. Cả N sản phẩm đều xấu.
  2. Có ít nhất một sản phẩm xấu.
  3. m sản phẩm kiểm tra đầu là tốt, các sản phẩm còn lại là xấu.
  4. Các sản phẩm kiểm tra theo thứ tự chẵn là xấu, còn các sản phẩm kiểm tra theo thứ tự lẻ là tốt.
  5. Không gian mẫu gồm bao nhiêu phần tử?

2.   Bắn không hạn chế vào một mục tiêu cho đến khi có viên đạn trúng mục tiêu thì thôi bắn. Giả sử mỗi lần bắn chỉ có hai khả năng: trúng bia (biến cố A) hoặc chệch bia (biến cố \bar{A}).

  1. Hãy miêu tả không gian mẫu.
  2. Hãy nêu một hệ đầy đủ các biến cố.

3.   Có n bệnh nhân. Gọi {{A}_{k}} là biến có bệnh nhân thứ k khỏi bệnh. Hãy biểu diễn các biến cố sau:

  1. Tất cả các bệnh nhân đều khỏi bệnh.
  2. Có ít nhất một người không khỏi bệnh.
  3. Có đúng một người không khỏi bệnh.
  4. Có đúng hai người không khỏi bệnh.

4.   Một dụng cụ điện tử gồm có 3 bóng đèn loại I và 4 bóng loại II. Gọi {{A}_{k}}~\left( k=1,2,3 \right) là biến cố chỉ bóng đèn loại I thứ k là tốt, còn {{B}_{j}}~\left( j=1,2,3,4 \right) là biến cố chỉ bóng đèn loại II thứ j là tốt. Dụng cụ tiếp tục làm việc được nếu có ít nhất 1 bóng loại I tốt và không ít hơn 3 bóng loại II tốt.

  1. Hãy biểu diễn biến cố C=”dụng cụ vẫn làm việc được” qua các biến cố {{A}_{k}},~{{B}_{j}}.
  2. Biểu diễn biến cố D=”có 1 và chỉ 1 bóng đèn tốt loại I và có đúng 2 bóng đèn loại II tốt.

5.   Chọn ngẫu nhiên một công nhân trong số các công nhân có mặt ở xí nghiệp. Gọi A là biến cố “người công nhân được chọn là nam”, B là biến cố “người công nhân được chọn ở trong khu tập thể” và C là biến cố “người công nhân được chọn không hút thuốc lá”.

  1. Hãy mô tả biến cố AB\bar{C}.
  2. Với điều kiện nào ta có A\bar{B}C=A?
  3. Khi nào ta có C=\bar{A}~?

6.   Cho 3 biến cố A, B, C. Viết biểu thức chỉ các biến cố:

  1. Chỉ có A xảy ra.
  2. A và B xảy ra nhưng C không xảy ra.
  3. Cả ba biến cố cùng xảy ra.
  4. Có ít nhất một trong ba biến cố A, B, C xảy ra.
  5. Có ít nhất hai biến cố cùng xảy ra.
  6. Có một và chỉ một trong ba biến cố A, B, C xảy ra.
  7. Chỉ có hai trong ba biến cố đó xảy ra.
  8. Không có biến cố nào trong ba biến cố đó xảy ra.
  9. Có không quá 2 biến cố trong ba biến cố đó xảy ra.

7.   Có 5 cuốn sách khác nhau A, B, C, D, E đặt trên giá sách. Rút lần lượt (không hoàn lại) 3 cuốn.

  1. Không gian mẫu có bao nhiêu phần tử.
  2. Số trường hợp có lợi cho biến cố rút được cuốn sách A và biến cố không rút được cuốn sách A là bao nhiêu?
  3. Có bao nhiêu trường hợp có lợi cho biến cố rút được cả hai cuốn sách A và C?

8.   Người mẹ sinh 2 người con (mỗi lần sinh 1 con, trai hoặc gái).

  1. Không gian mẫu có bao nhiêu phần tử.
  2. Có bao nhiêu trường hợp thuận lợi cho biến cố 2 con có một trai và một gái.

II.          Định nghĩa xác suất

9.      Một hộp chứa 30 bi trắng, 7 bi đỏ và 15 bi xanh. Một hộp khác chứa 10 bi trắng, 6 bi đỏ và 9 bi xanh. Ta lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp 1 bi. Tìm xác suất để 2 bi rút ra cùng màu.

10.  Gieo đồng thời 2 con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tìm xác suất sao cho:

  1. Tổng số chấm của hai xúc xắc là 6.
  2. Hiệu số chấm của hai xúc xắc có trị tuyệt tối là 3.
  3. Số chấm trên hai xúc xắc không bằng nhau.

11.  Một lô hàng có 50 sản phẩm trong đó có 40 sản phẩm tốt, 10 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng ra 8 sản phẩm. Tìm xác suất để trong 8 sản phẩm lấy ra có đúng 5 sản phẩm tốt.

12.  12 hành khách lên ngẫu nhiên 3 toa tàu. Tìm xác suất để:

  1. Toa thứ nhất có đúng 3 hành khách.
  2. Mỗi toa có 4 hành khách.

13.  Một khóa chữ lập bởi 6 vành ghép liên tiếp quay quanh một trục. Mỗi vành đều chia thành 10 phần bằng nhau, trên mỗi phần có ghi 1 chữ số. Khóa được mở khi mỗi vành đặt đúng một vị trí đã xác định trước. Tìm xác suất để mở được khóa. (Giả sử các chữ số được lắp ghép một cách tùy ý).

14.              Một loạt vé xổ số với tổng số tiền vé là n đồng, giá mỗi vé là 300 đồng. Số vé trúng thưởng loại {{q}_{1}} đồng là {{m}_{1}}, loại {{q}_{2}} đồng là {{m}_{2}}~\left( {{q}_{1}}>{{q}_{2}} \right).

  1. Tìm xác suất trúng thưởng không quá {{q}_{1}} đồng của 1 vé.
  2. Tìm xác suất trúng thưởng {{q}_{2}} đồng của 1 vé.

15.  Một khách sạn có 6 phòng phục vụ khách, nhưng có tất cả 10 khách đến xin nghỉ trọ, trong đó có 6 nam và 4 nữ. Khách sạn phục vụ theo nguyên tắc “ai đến trước phục vụ trước và mỗi phòng nhận 1 người”.

  1. Tìm xác suất để cho cả 6 nam đều được nghỉ trọ.
  2. Tìm xác suất để 4 nam và 2 nữ được nghỉ trọ.
  3. Tìm xác suất sao cho ít nhất có 2 trong 4 nữ được nghỉ trọ.

III.        Xác suất hình học

16.  Cho một hình vuông cạnh a. Lấy ngẫu nhiên một điểm M trong hình vuông đó. Tìm xác suất để điểm M rơi vào hình tròn nội tiếp hình vuông đó.

17.  Trên đường tròn tâm O bán kính R người ta lấy một điểm A cố định.

  1. Lấy ngẫu nhiên điểm M nằm trên đường tròn đó. Tìm xác suất để khoảng cách từ M đến A không vượt quá R.
  2. Lấy ngẫu nhiên điểm N nằm trong hình tròn đó. Tìm xác suất để khoảng cách từ N đến A không vượt quá R.

18.  Cắt ngẫu nhiên một đoạn dây dài 1m thành 3 đoạn. Tìm xác suất để từ ba đoạn đó ta dựng được một tam giác.

19.  Các hệ số a, b, c của các phương trình:

  1. {{x}^{2}}+ax+{{b}^{2}}=0.
  2. \left( a+1 \right){{x}^{2}}+2bx−a+1=0.

Được lấy ngẫu nhiên giá trị trong đoạn [-1;1]. Tìm xác suất để mỗi phương trình trên có nghiệm thực.

20.  Trên đoạn OA có độ dài s của trục Ox, đặt hú họa hai điểm B (OB=x) và C (OC=y). Tìm xác suất sao cho độ dài BC bé hơn \frac{s}{2}.

IV.        Công thức cộng, công thức nhân và xác suất có điều kiện

21.  Bắn  3 viên đạn độc lập vào cùng 1 bia. Xác suất trúng của viên đạn thứ nhất, viên thứ hai và viên thứ ba tương ứng là 0,3; 0,5 và 0,7.

  1. Tìm xác suất sao cho trong 3 viên đạn có đúng 1 viên trúng đích.
  2. Tìm xác suất để có ít nhất 1 viên đạn trúng đích.

22.  Một lô hàng gồm 150 sản phẩm có chứa 6% phế phẩm. Người ta dùng phương pháp chọn mẫu để kiểm tra lô hàng và qui ước rằng: kiểm tra 6 lượt sản phẩm, nếu có ít nhất 1 trong sản phẩm đó là phế phẩm thì loại lô hàng. Tìm xác suất để chấp nhận lô hàng.

23.  Bắn liên tiếp vào một mục tiêu cho đến khi nào có 1 viên đạn đầu tiên rơi vào mục tiêu thì ngừng bắn. Tìm xác suất sao cho phải bắn đến viên thứ sáu. Biết rằng xác suất trúng đích của mỗi viên đạn là 0,2 và các lần bắn là độc lập.

24.  Một máy bay gồm 3 bộ phận có tầm quan trọng khác nhau. Muốn bắn rơi được máy bay thì chỉ cần có 1 viên đạn trúng vào bộ phận thứ nhất hoặc 2 viên đạn trúng bộ phận thứ hai hoặc 3 viên đạn trúng bộ phận thứ ba. Xác suất để 1 viên đạn trúng bộ phận thứ I, thứ II và thứ III là 0,15; 0,30; 0,55. Tìm xác suất để máy bay bị bắn rơi khi:

  1. Có một viên đạn trúng máy bay.
  2. Có 2 viên đạn trúng máy bay.
  3. Có 3 viên đạn trúng máy bay.
  4. Có 4 viên đạn trúng máy bay.

25.  Một nhà máy sản xuất bóng đèn. Máy A sản xuất 25% số bóng đèn, máy B sản xuất 35% số bóng đèn, còn máy C sản xuất 40%. Tỉ lệ sản phẩm hỏng của các máy đó trên tổng số sản phẩm do nhà máy đó sản xuất tương ứng băng 5% (máy A), 4% (máy B) và 2% (máy C). lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm thì được sản phẩm xấu. Tìm xác suất để cho sản phẩm đó là do:

  1. Máy A sản xuất.
  2. Máy B sản xuất.
  3. Máy C sản xuất.

26.  Hai đấu thủ A và B thi đấu một số lần, trong mỗi lần hoặc đấu thủ A thắng hoặc đấu thủ B thắng. Xác suất của A trong mỗi lần đều là p. Trước lúc vào thi đấu có qui ước là mỗi đấu thủ phải thắng mấy lần mới được xem là thắng cuộc.

  1. Tìm xác suất để A thắng cuộc, nếu giả sử A cần có 2 lần thắng còn B cần có 3 lần thắng.
  2. Tìm xác suất thắng cuộc của A nếu giả sử A cần có m lần thắng còn  B cần m lần thắng.

27.  Một học sinh khi vào thi chỉ thuộc 18 trong 25 câu hỏi thi. Tìm xác suất để học sinh trả lời được 3 câu hỏi mà học sinh đó rút được.

28.  Ba cậu bé chơi trò chơi gieo đồng tiền liên tiếp. Ai gieo được mặt sấp đầu tiên sẽ thắng cuộc. Tìm xác suất thắng cuộc của mỗi cậu bé.

V.          Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

29.  Giả sử có 3 kiện hàng với số sản phẩm tốt tương ứng của mỗi kiện là 20, 15, 10. Lấy ngẫu nhiên 1 kiện hàng (giả sử 3 kiện có cùng khả năng bị rút) rồi từ đó lấy hú họa 1 sản phẩm. Biết rằng 3 kiện hàng đó đều có 20 sản phẩm.

  1. Tìm xác suất để sản phẩm chọn ra là sản phẩm tốt.
  2. Giả sử sản phẩm chọn ra là tốt. Tìm xác suất để sản phẩm đó thuộc kiện hàng thứ 2.

30.  Với 3 kiện hàng như trong bài 31, ta chon ngẫu nhiên 1 kiện và từ kiện đó lấy hú họa 1 sản phẩm thấy là sản phẩm tốt. Trả lại sản phẩm đó lại kiện hàng vừa lấy ra, sau đó lấy tiếp 1 sản phẩm thì được sản phẩm tốt. Tìm xác suất để các sản phẩm được lấy từ kiện hàng thứ 3.

31.  Có 2 kiện hàng gồm 12 sản phẩm và 10 sản phẩm. Trong mỗi kiện hàng có 1 sản phẩm xấu. Lấy hú họa 1 sản phẩm ở kiện thứ nhất cho vào kiện hàng thứ hai, rồi từ kiện hàng thứ hai rút ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm. Tìm xác suất để sản phẩm rút ra lần thứ hai là sản phẩm xấu.

32.  Cho n hộp bi, mỗi hộp chứa m bi trắng và k bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 1 bi từ hộp thứ nhất và bỏ vào hộp thứ hai, sau đó lấy ngẫu nhiên 1 bi ở hộp thứ hai bỏ vào hộp thứ ba, … làm như thế cho tới hộp thứ n. Tìm xác suất sao cho viên bi cuối cùng rút ra từ hộp thứ n là bi trắng.

33. Tiến hành 3 phép thử độc lập. Xác suất xuất hiện biến cố B tùy thuộc vào số lần xuất hiện của A. Nếu A xuất hiện I lần (i=1,2,3) thì xác suất xuất hiện tương ứng của B là {{p}_{i}}=0,i; còn nếu A không xuất hiện thì B không xảy ra. Tìm số (chỉ số lần xuất hiện của biến cố A) có khả năng nhất nếu giả sử rằng biến cố B đã xuất hiện.

VI.        Công thức Bernoulli

34.  Một lô hàng chứa rất nhiều sản phẩm với tỉ lệ phế phẩm p=0,02. Cần phải lấy một mẫu với cỡ bằng bao nhiêu sao cho xác suất để có ít nhất một phế phẩm trong mẫu đó không bé hơn 0,95.

35.  Một gia đình có 3 con (mỗi lần sinh 1 con). Tìm xác suất để trong số đó:

  1. Có 2 con trai.
  2. Có không quá 1 con trai.
  3. Không ít hơn 1 con trai.

Giả sử xác suất sinh con trai bằng 0,5.

36.  Tỉ lệ học sinh trong trường bị cận thị là 1%. Hỏi cần láy cỡ mẫu bao nhiêu (chọn bao nhiêu học sinh) sao cho với xác suất không bé hơn 0,95, trong mẫu có ít nhất 1 học sinh bị cận thị.

37.  Một nữ công nhân quản lý 12 máy dệt. Xác suát để mỗi máy dệt trong khoảng thời gian t cần đến sự chăm sóc của nữ công nhân bằng \frac{1}{3}. Tìm xác suất để :

  1. Trong khoảng thời gian t có 4 máy cần đến sự chăm sóc của nữ công nhân.
  2. Trong khoảng thời gian t số máy cần đến sự chăm sóc của nữ công nhân không bé hơn 3 và không lớn hơn 6.

38.  Người ta trồng 2 hàng cây trong đó mỗi hàng có 4 cây. Xác suất của mỗi cây sống là 0,8. Trồng lần thứ I nếu cây nào chết thì trồng lại cây đó. Tìm xác suất để không phải trồng cây quá 2 lần.

39.  Bắn độc lập 14 viên đạn vào một mục tiêu với xác suất trúng đích của mỗi viên đạn bằng 0,2.

  1. Tìm xác suất để mục tiêu bị phá hủy nếu biết rằng muốn phá hủy mục tiêu cần không ít hơn 2 viên đạn trúng đích.
  2. Tìm xác suất để mục tiêu bị phá hủy một phần, tức là chưa bị phá hủy hoàn toàn mà chỉ bị hư hỏng.

40. Trong một kiện hàng có chứa N sản phẩm. Mỗi sản phẩm trong kiện hàng đó là tốt hoặc xấu với xác suất như nhau và bằng 0,5. Chọn ngẫu nhiên từ kiện hàng đó n sản phẩm (chọn hoàn lại) và thấy có m sản phẩm tốt (0\le m\le n). Xác định xác suất sao cho trong kiện hàng trên có đúng l phế phẩm.

41.  Một tổng đài có liên lạc với 10 địa điểm có đặt một máy điện thoại. Các máy điện thoại này được sử dụng một cách độc lập và thường xuyên như nhau với thời gian trung bình mỗi lần nói chuyện là 6 phút. Tìm xác suất sao cho một trong các máy điện thoại ở các địa điểm đã cho khi cần gọi thì tổng đài đang bận.

This entry was posted in De thi va dap an and tagged . Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s