ĐỀ THI VÀ ĐÁP ÁN MÔN XÁC SUẤT – THỐNG KÊ K59 TOÁN-TIN

ĐỀ THI MÔN XÁC SUẤT – THỐNG KÊ

Dành cho K59 khoa Toán – Tin

Thời gian: 120 phút

(Đề số 1)

 

Câu 1. Một xạ thủ bắn 3 viên đạn vào một mục tiêu một cách độc lập. Xác suất trúng mục tiêu của mỗi viên đạn bắn ra là 0,8. Nếu có 1 viên trúng, xác suất để mục tiêu bị tiêu diệt là 30%; nếu có 2 viên trúng, xác suất mục tiêu bị tiêu diệt là 70% còn nếu trúng 3 viên, mục tiêu chắc chắn bị tiêu diệt. Tìm xác suất để mục tiêu bị tiêu diệt.

Câu 2. Để đạt được một loại chứng chỉ ngoại ngữ, thí sinh phải vượt qua 2 cấp độ: A và B. Ở mỗi cấp độ thí sinh có thể thi nhiều lần nhưng để được tham dự thi ở cấp độ B, thí sinh phải vượt qua cấp độ A. Một thí sinh có xác suất thi đỗ cấp độ A ở mỗi lần thi là 80% và xác suất để thi đỗ cấp độ B ở mỗi lần thi là 40%. Gọi X là số lần thi cần thiết để đạt được chứng chỉ. Tìm phân phối xác suất của X.

Câu 3. Lấy ngẫu nhiên từ một hộp chứa 3 viên bi đỏ, 2 viên bi trắng và 5 viên bi xanh ra 5 viên bi. Gọi X là số viên bi đỏ và Y là số viên bi trắng trong số 5 viên bi được chọn ra này. Tìm hệ số tương quan \rho(X,Y).

Câu 4. Cho X, Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập. Giả sử X có phân phối mũ tham số \lambda =1 và Y có phân phối đều trên khoảng (0;1). Xác định hàm mật độ của biến ngẫu nhiên Z=\dfrac{e^X}{Y}.

Câu 5.Cho (X_n, n\geq 1) là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập với

P(X_n=1) =1-\dfrac {1} {n}P(X_n=n) =\dfrac {1} {n}

Xét tính hội tụ của dãy (X_n) đến 1 theo các dạng: theo xác suất; hầu chắc chắn; trong L^2.

Câu 6.Cho X_1,X_2,... là dãy các biến ngẫu nhiên với X_n có phân phối B(n,p) và thỏa mãn \Delta X_n=X_n-X_{n-1} độc lập với X_{n-1},X_{n-2},...,X_1 với mọi n> 1. Chứng minh rằng

\dfrac{X_n}{n}\overset{h.c.c}{\longrightarrow}p.

—————————–

This entry was posted in De thi va dap an. Bookmark the permalink.

6 Responses to ĐỀ THI VÀ ĐÁP ÁN MÔN XÁC SUẤT – THỐNG KÊ K59 TOÁN-TIN

  1. trongsp says:

    Câu 1. Đặt A_k=”trúng k viên đạn” k=0,1,2,3; H=”mục tiêu bị tiêu diệt”. Theo công thức xác suất toàn phần thì
    \begin{aligned} P(H)&=P(A_0)P(H|A_0)+P(A_1)P(H|A_1)+P(A_2)P(H|A_2)+P(A_3)P(H|A_3)\\  &=(0,2)^3.0+C^1_3.0,8.(0,2)^2.0,3+C^2_3.(0,8)^2.0,2.0,7+(0,8)^3.1\\  &=0,8096. \end{aligned}

  2. trongsp says:

    Câu 2. Với mọi số nguyên dương n\geq 2 thì
    \begin{aligned} P(X=n)&=\sum_{k=1}^{n-1}(0,2)^{k-1}.0,8.(0,6)^{n-k-1}.0,4\\  &=0,32.(0,6)^{n-2}\sum_{k=1}^{n-1}\left(\frac{1}{3}\right)^{k-1}= 0,32.(0,6)^{n-2}.\frac{1-\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}}{1-\frac{1}{3}}\\  &=0,48.(0,6)^{n-2}-0,16.(0,2)^{n-2} \end{aligned}.

  3. trongsp says:

    Câu 3. Phân phối xác suất đồng thời của X,Y là

    \begin{matrix}    X\backslash Y & 0 & 1 & 2 & {{P}_{X}}  \\    0 & \frac{C_{3}^{0}.C_{2}^{0}.C_{5}^{0}}{C_{10}^{5}}=\frac{1}{252} & \frac{C_{3}^{0}.C_{2}^{1}.C_{5}^{4}}{C_{10}^{5}}=\frac{10}{252} & \frac{C_{3}^{0}.C_{2}^{2}.C_{5}^{3}}{C_{10}^{5}}=\frac{10}{252} & \frac{1}{12}  \\    1 & \frac{C_{3}^{1}.C_{2}^{0}.C_{5}^{4}}{C_{10}^{5}}=\frac{15}{252} & \frac{C_{3}^{1}.C_{2}^{1}.C_{5}^{3}}{C_{10}^{5}}=\frac{60}{252} & \frac{C_{3}^{1}.C_{2}^{2}.C_{5}^{2}}{C_{10}^{5}}=\frac{30}{252} & \frac{5}{12}  \\    2 & \frac{C_{3}^{2}.C_{2}^{0}.C_{5}^{3}}{C_{10}^{5}}=\frac{30}{252} & \frac{C_{3}^{2}.C_{2}^{1}.C_{5}^{2}}{C_{10}^{5}}=\frac{60}{252} & \frac{C_{3}^{2}.C_{2}^{2}.C_{5}^{1}}{C_{10}^{5}}=\frac{15}{252} & \frac{5}{12}  \\    3 & \frac{C_{3}^{3}.C_{2}^{0}.C_{5}^{2}}{C_{10}^{5}}=\frac{10}{252} & \frac{C_{3}^{3}.C_{2}^{1}.C_{5}^{1}}{C_{10}^{5}}=\frac{10}{252} & \frac{C_{3}^{3}.C_{2}^{2}.C_{5}^{0}}{C_{10}^{5}}=\frac{1}{252} & \frac{1}{12}  \\    {{P}_{Y}} & \frac{2}{9} & \frac{5}{9} & \frac{2}{9} \\ \end{matrix}

    EX=1.\dfrac{5}{12}+2.\dfrac{5}{12}+3.\dfrac{1}{12}=\dfrac{3}{2};EY=1.\dfrac{5}{9}+2.\dfrac{2}{9}=1
    E(X.Y)=1.1.\dfrac{60}{252}+1.2.\dfrac{30}{252}+2.1.\dfrac{60}{252}+2.2.\dfrac{15}{252}+3.1.\dfrac{10}{252}+3.2.\dfrac{1}{252}=\dfrac{4}{3}
    \Rightarrow cov(X,Y)=E(X.Y)-EX.EY=\dfrac{4}{3}-\dfrac{3}{2}.1=-\dfrac{1}{6}
    DX=1^2.\dfrac{5}{12}+2^2.\dfrac{5}{12}+3^2.\dfrac{1}{12}-\left(\dfrac{3}{2}\right)^2=\dfrac{7}{12};\; DY=1^2.\dfrac{5}{9}+2^2.\dfrac{2}{9}-1^2=\dfrac{4}{9}
    \Rightarrow \rho(X,Y)=\dfrac{cov(X,Y)}{\sqrt{DX.DY}}=\dfrac{-1/ 6}{\sqrt{7/12.4/9}}=-\sqrt{\dfrac{3}{28}}.

  4. trongsp says:

    Câu 4. Giải. Đặt
    \begin{cases} z=\dfrac{e^x}{y}\\ t=y  \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=\ln (zt)\\ y=t \end{cases} \Rightarrow J=\begin{vmatrix} \frac{1}{z}&\frac{1}{t}\\  0&1\\  \end{vmatrix}=\frac{1}{z}
    Vậy hàm mật độ đồng thời của Z=\dfrac{e^X}{Y},T=Y
    f_{Z,T}(z,t)=\dfrac{1}{|z|}f_X(\ln (zt)).f_Y(t)\Rightarrow f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}\dfrac{1}{|z|}f_X(\ln (zt)).f_Y(t)dt
    \begin{cases} \ln (zt)>0\\ 0<t<1\\ \end{cases} \Leftrightarrow\begin{cases} z>0\\ t>\frac{1}{z}\\ 0<t<1\end{cases}
    +) Nếu z\leq 1 thì f_Z(z)=0.
    +) Nếu z>1 thì
    f_Z(z)=\int_{\frac{1}{z}}^{1}\dfrac{1}{z}.e^{-\ln(zt)}dt=\int_{\frac{1}{z}}^{1}\dfrac{1}{z^2t}dt=\left. \dfrac{\ln t}{z^2}\right|_\frac{1}{z}^1=\dfrac{\ln z}{z^2}.

  5. trongsp says:

    Câu 5. Với mọi \varepsilon>0 thì
    P(\left|X_n-1\right|>\varepsilon)\leq P(X_n=n)=\dfrac{1}{n}\rightarrow 0
    Suy ra X_n\xrightarrow{P}1. Lại có
    \sum_{n\geq 1}P(|X_n-1|>\dfrac{1}{2})=\sum_{n\geq 2}\frac{1}{n}=\infty
    Nên theo Bổ đề Borel – Cantelli thì X_n không hội tụ h.c.c tới 1.
    \begin{aligned} E(X_n-1)^2&=EX_n^2-2EX_n+1\\  &=\left(1-\dfrac{1}{n}\right)+n^2.\dfrac{1}{n}-2.\left[\left(1-\dfrac{1}{n}\right)+n.\dfrac{1}{n}\right]+1\\  &=n-2+\dfrac{1}{n} \end{aligned}
    \Rightarrow \lim_{n\to\infty}E|X_n-1|^2=\infty.
    Suy ra (X_n) không hội tụ tới 1 trong L^2.

  6. trongsp says:

    Câu 6. Đặt Y_n=\Delta X_n\quad \forall n>1,\; (Y_1=X_1), suy ra dãy (Y_n) là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập . Ta có
    X_n=\sum_{k=1}^n Y_k
    \Rightarrow \sum_{k=1}^n EY_k=EX_n=np;  \sum_{k=1}^n DY_k=ED_n=np(1-p)
    \Rightarrow EY_n=p,\; DY_n=p(1-p)\quad \forall n\geq 1.
    \Rightarrow \sum_{n\geq 1}\dfrac{DY_n}{n^2}=\sum_{n\geq 1}\dfrac{p(1-p)}{n^2}<\infty
    Theo Kolmogorov thì
    \dfrac{X_n}{n}-p=\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n (Y_k-EY_k)\xrightarrow{h.c.c}0
    Từ đó ta có đpcm.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s