ĐỀ VÀ ĐÁP ÁN THI GIỮA KỲ MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT K59E TOÁN-TIN (ĐỀ SỐ 1)

ĐỀ THI GIỮA KỲ MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT

Dành cho K59E khoa Toán-Tin

Thời gian: 60 phút

(Đề số 1)

 

Câu 1. Biết rằng 1 người có nhóm máu AB có thể nhận máu của bất kì nhóm máu nào. Nếu người đó có nhóm máu còn lại (A hoặc B hoặc O) thì chỉ có thể nhận máu của người cùng nhóm với mình hoặc người có nhóm O. Cho biết tỉ lệ người có nhóm máu O, A, B và AB tương ứng là 33,7%; 37,5%; 20,9% và 7,9%. Chọn ngẫu nhiên 1 người cần tiếp máu và 2 người cho máu. Tính xác suất để sự truyền máu thực hiện được.

Câu 2. Tuổi thọ của người là 1 bnn X\sim EXP(\lambda).  Biết rằng trung bình 1000 người có 500 người sống quá 60 tuổi. Có 10 ông năm nay 60 tuổi. Tính xác suất để có ít nhất 3 ông sống quá 70.

Câu 3. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ

f(x)=\begin{cases}    kx.(ln x)^2 & \mbox{ neu } x\in (1;e)\\    0&\mbox{ neu trai lai }    \end{cases}

Hãy tìm k và tính kỳ vọng, phương sai và độ lệch tiêu chuẩn của X.

Câu 4. Cho X,Y là các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối đều trên U(0;1). Hãy tìm hàm mật độ của Z=\dfrac{e^X}{Y}.

This entry was posted in De thi va dap an. Bookmark the permalink.

4 Responses to ĐỀ VÀ ĐÁP ÁN THI GIỮA KỲ MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT K59E TOÁN-TIN (ĐỀ SỐ 1)

  1. trongsp says:

    Câu 1. Đặt
    A_1=” người nhận máu O”
    A_2=” người nhận máu A”
    A_3=” người nhận máu B”
    A_4=” người nhận máu AB”
    H=” sự truyền máu không thể thực hiện được”
    Theo công thức xác suất toàn phần:
    \begin{aligned} P(H) & =P(A_1)P(H|A_1)+P(A_2)P(H|A_2)+P(A_3)P(H|A_3)+P(A_4)P(H|A_4)\\ & =0,337.(1-0,337)^2+0,375.(1-0,337-0,375)^2\\ & \quad +0,209.(1-0,337-0,209)^2+0,079.0\\ & \approx 0,222 \end{aligned}
    Vậy xác suất để sự truyền máu thực hiện được là
    P(\overline{H})=1-0,222=0,778

  2. trongsp says:

    Câu 2.
    P(X>60)=e^{-60\lambda}=\dfrac{500}{1000}\Rightarrow \lambda=\dfrac{ln 2}{60}
    Xác suất để một nguời ở tuổi 60 sống quá 70 tuổi là
    P(X>70|X>60)=\dfrac{P(X>70,X>60 )}{P(X>60)}=\dfrac{P(X>70)}{P(X>60)}=\dfrac{e^{-70\lambda}}{e^{-60\lambda}}=2^{-\frac{1}{6}}
    Gọi Y là số người sống quá 70 tuổi trong 10 người 60 tuổi. Suy ra Y\sim B(10;2^{-\frac{1}{6}}).
    Vậy xác suất để có ít nhất 3 người sông quá 70 tuổi trong 10 người là
    \begin{aligned} P(Y\geq 3) & =1-P(Y=0)-P(Y=1)-P(Y=2)\\ &= 1-(1-2^{-\frac{1}{6}})^{10}-C^1_{10}2^{-\frac{1}{6}}(1-2^{-\frac{1}{6}})^9-C^2_{10}2^{-\frac{1}{3}}(1-2^{-\frac{1}{6}})^8 \end{aligned}

  3. trongsp says:

    Câu 3. Với mọi m\geq 0 thì
    \begin{aligned} EX^m&=\int_1^e kx^{m+1}ln^2 xdx= \left. k\frac{x^{m+2}.ln^2 x}{m+2}\right|_1^e-\int_1^e 2k\frac{x^{m+1}.ln x}{m+2}dx\\ &=k.\frac{e^{m+2}}{m+2}-\left. \dfrac{2k}{m+2}\left(\frac{x^{m+2}.ln x}{m+2}-\frac{x^{m+2}}{(m+2)^2}\right) \right|_1^e\\ &= k.\frac{e^{m+2}}{m+2}-\frac{2k.e^{m+2}}{(m+2)^2}+\frac{2k.e^{m+2}}{(m+2)^3}-\frac{2k}{(m+2)^3}\\ & =k.\left[\dfrac{(m^2+2m+2)e^{m+2}-2}{(m+2)^3}\right] \end{aligned}
    Với m=0 thì
    1=k.\frac{e^2-1}{4}\Rightarrow k=\frac{4}{e^2-1}
    Với m=1 thì
    EX=\frac{4}{e^2-1}.\frac{5e^3-2}{27}
    Với m=2 thì
    EX^2=\frac{4}{e^2-1}.\frac{5e^4-1}{32}\Rightarrow DX=EX^2-(EX)^2; \sigma_X=\sqrt{DX}

  4. trongsp says:

    Câu 4. Đặt
    \begin{cases} z=\frac{e^x}{y}\\ t=y \end{cases}\Rightarrow  \begin{cases} x=ln(zt)\\ y=t \end{cases}\Rightarrow J=\left|\begin{matrix} \dfrac{\partial x}{\partial z} & \dfrac{\partial x}{\partial t}\\  & &\\ \dfrac{\partial y}{\partial z} & \dfrac{\partial y}{\partial t} \end{matrix}\right|=\left|\begin{matrix} \frac{1}{z} & \frac{1}{t}\\  0 & 1 \end{matrix}\right|=\frac{1}{z}
    Hàm mật độ đồng thời của Z=\dfrac{e^X}{Y},T=Y
    f_{Z,T}(z,t)=\left|\frac{1}{z}\right|.f_X(ln(zt))f_Y(t).
    Ta có
    \begin{cases} 0<ln(zt)<1\\ 0<t<1\\ \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} 0<z\\ \frac{1}{z}<t<\frac{e}{z}\\ 0<t<1\\ \end{cases}
    – Nếu z\leq 1 thì f_Z(z)=0.
    – Nếu 1<z<e thì f_Z(z)=\int_{\frac{1}{z}}^1 \frac{1}{z}dt=\frac{1}{z}\left(1-\frac{1}{z}\right).
    – Nếu z\geq e thì f_Z(z)=\int_{\frac{1}{z}}^{\frac{e}{z}} \frac{1}{z}dt=\frac{e-1}{z^2}.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s